Question

2．已知|$\overrightarrow{a}$|=6，|$\overrightarrow$|=8，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，若向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$）=0，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$的最大值是60．

Answer 1

分析 由已知|$\overrightarrow{a}$|=6，|$\overrightarrow$|=8，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，若向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$）=0展開得到${\overrightarrow{c}}^{2}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{c}$，又|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=10，設(shè)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$夾角為θ，得到|$\overrightarrow{c}$|=10cosθ，得到其最大值為10，進(jìn)一步設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$的夾角為α，利用數(shù)量積公式得到所求最大值．

解答 解：因?yàn)閨$\overrightarrow{a}$|=6，|$\overrightarrow$|=8，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，向量$\overrightarrow{c}$滿足（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}-\overrightarrow$）=0，所以${\overrightarrow{c}}^{2}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{c}$，又|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=10，設(shè)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$夾角為θ，得到|$\overrightarrow{c}$|=10cosθ，
所以|$\overrightarrow{c}$|的最大值為10，
設(shè)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$的夾角為α，則$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{c}$|cosα≤|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{c}$|=60；
故答案為：60．

點(diǎn)評 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)是解題基．