Question

12．圍建一個面積為360m²的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用的舊墻需維修，可供利用的舊墻足夠長），其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬2m的進出口，如圖所示．已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m．設(shè)利用舊墻的長度為x（單位：m），修建此矩形場地圍墻的總費用為y（單位：元）．
（1）將y表示為x的函數(shù)，并寫出此函數(shù)的定義域；
（2）若要求用于維修舊墻的費用不得超過修建此矩形場地圍墻的總費用的15%，試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．

Answer 1

分析 （1）設(shè)矩形場地的寬為am，然后求出y的表達式，注明x＞0．
（2）利用基本不等式直接求出費用的最小值即可．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）設(shè)矩形場地的寬為am，則y=45x+180（x-2）+180×2a=225x+360a-360，…（2分）
∵ax=360
∴a=$\frac{360}{x}$，…（4分）
∴y=225x+$\frac{{360}^{2}}{x}-360$，x＞0；…（6分）
（2）∵x＞0
∴y=225x+$\frac{{360}^{2}}{x}-360$≥2$\sqrt{225×{360}^{2}}$-360=10440  …（9分）
當且僅當225x=$\frac{{360}^{2}}{x}$，即x=24時，等號成立．…（11分）
當x=24時，修建此矩形場地圍墻的總費用的15%為：1566元，用于維修舊墻的費用為：1080元．
∵1080＜1566，…（13分）
∴當x=24m時，修建此矩形場地圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元．…（14分）

點評 本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，基本不等式在最值中的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．