Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+a）lnx，g（x）=$\frac{2{x}^{2}}{{e}^{x}}$．已知曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線過點(diǎn)（2，3）
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）是否存在自然數(shù)k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出k，如果不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)函數(shù)m（x）=min{f（x），g（x）}（min（p，q）表示p，q中的較小值），求m（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，求出切線的方程，代入（2，3），可得a的值；
（2）k=1時(shí)，方程f（x）=g（x）在（1，2）內(nèi)存在唯一的根．設(shè)$h（x）=f（x）-g（x）=（x+2）lnx-\frac{{2{x^2}}}{e^x}$，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理，可得存在x₀∈（1，2），使h（x₀）=0．求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性即可判斷存在；
（3）由（2）知，方程f（x）=g（x）在（1，2）內(nèi)存在唯一的根x₀，求得m（x）的解析式m（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）lnx，x∈（0，{x}_{0}）}\\{\frac{2{x}^{2}}{{e}^{x}}，x∈（{x}_{0}，+∞）}\end{array}\right.$，分段討論，運(yùn)用單調(diào)性，可得最大值．

解答 解：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)為$f'（x）=lnx+\frac{a}{x}+1$，
可得f'（1）=1+a，又f（1）=0，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y=（1+a）（x-1），
把點(diǎn)（2，3）代入得：1+a=3，
解得a=2；
（2）k=1時(shí)，方程f（x）=g（x）在（1，2）內(nèi)存在唯一的根．
理由：設(shè)$h（x）=f（x）-g（x）=（x+2）lnx-\frac{{2{x^2}}}{e^x}$，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，h（x）＜0．
又$h（2）=4ln2-\frac{8}{e^2}＞4ln\sqrt{e}-\frac{8}{4}＞0$，
所以存在x₀∈（1，2），使h（x₀）=0．
因?yàn)?h'（x）=lnx+\frac{2}{x}+1+\frac{2x（x-2）}{e^x}$，
所以當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，$h'（x）＞1+\frac{2x（x-2）}{e^x}＞1-\frac{2}{e}＞0$，
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h'（x）＞0，
所以當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）單調(diào)遞增．
所以k=1時(shí)，方程f（x）=g（x）在（k，k+1）內(nèi)存在唯一的根．
（3）由（2）知，方程f（x）=g（x）在（1，2）內(nèi)存在唯一的根x₀，
且x∈（0，x₀）時(shí)，f（x）＜g（x），x∈（x₀，+∞）時(shí)，f（x）＞g（x），
所以m（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+2）lnx，x∈（0，{x}_{0}）}\\{\frac{2{x}^{2}}{{e}^{x}}，x∈（{x}_{0}，+∞）}\end{array}\right.$．
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，若x∈（0，1]，m（x）≤0；
若x∈（1，x₀]，由$m'（x）=lnx+\frac{2}{x}+1＞0$，知m（x）在（1，x₀）遞增．
所以0＜m（x）≤m（x₀）；
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，由$m'（x）=\frac{2x（2-x）}{e^x}$，
可知x∈（x₀，2）時(shí)，m'（x）＞0，m（x）單調(diào)遞增；
x∈（2，+∞）時(shí)，m'（x）＜0，m（x）單調(diào)遞減；
所以$m（x）≤m（2）=\frac{8}{e^2}$，且m（x₀）＜m（2）．
綜上可得函數(shù)m（x）的最大值為$\frac{8}{e^2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，以及分類討論的思想方法，屬于中檔題．