Question

2．已知直線(xiàn)y=x+b與函數(shù)f（x）=lnx的圖象交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，其橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，且x₁＜x₂
（Ⅰ）求b的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)x₂≥2時(shí)，證明x₁•x₂²＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得x-lnx+b=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)g（x）=x-lnx+b，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最小值，即可得到b的范圍；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得0＜x₁＜1，x₂＞1，g（x₁）=g（x₂）=0，作差g（x₁）-g（$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$），化簡(jiǎn)可得x₂-3lnx₂-$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$+ln2，令h（t）=t-$\frac{2}{{t}^{2}}$-3lnt+ln2，求出導(dǎo)數(shù)，判斷符號(hào)，得到單調(diào)性，可得當(dāng)x₂≥2時(shí)，g（x₁）-g（$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$）＞0，即g（x₁）＞g（$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$），由g（x）在（0，1）遞減，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得x-lnx+b=0有兩個(gè)不同的實(shí)根，
設(shè)g（x）=x-lnx+b，x＞0，g′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增．
可得g（x）在x=1處取得最小值b+1，
當(dāng)b＜-1時(shí)，b=lnx-x在（0，1）和（1，+∞）各有一個(gè)不同的實(shí)根，
則b的范圍是（-∞，-1）；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得0＜x₁＜1，x₂＞1，g（x₁）=g（x₂）=0，
g（x₁）-g（$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$）=（x₁-lnx₁+b）-（$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$-ln$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$+b）
=（x₂-lnx₂+b）-（$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$-ln$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$+b）=x₂-3lnx₂-$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$+ln2，
令h（t）=t-$\frac{2}{{t}^{2}}$-3lnt+ln2，則h′（t）=1-$\frac{3}{t}$+$\frac{4}{{t}^{3}}$=$\frac{（t-2）^{2}（t+1）}{{t}^{3}}$，
當(dāng)t≥2時(shí)，h′（t）≥0，h（t）遞增，
即有h（t）≥h（2）=$\frac{3}{2}$-2ln2＞0，
當(dāng)x₂≥2時(shí)，g（x₁）-g（$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$）＞0，即g（x₁）＞g（$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$），
又g（x）在（0，1）遞減，0＜x₁＜1，0＜$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$＜1，
即有x₁＜$\frac{2}{{{x}_{2}}^{2}}$，可得x₁•x₂²＜2．

點(diǎn)評(píng) 不同考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)法和單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．