Question

在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C₁: ="1" (a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂, F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C₁與C₂在第一象限的交點(diǎn)，且|MF₂|=.
（1）求C₁的方程；
（2）直線l∥OM，與C₁交于A、B兩點(diǎn)，若·=0，求直線l的方程.

Answer 1

(1).(2)直線l的方程為y=x-2,或y=x+2.

試題分析：(1)由C₂:y²=4x,知F₂(1,0),設(shè)M(x₁,y₁),M在C₂上,因?yàn)閨MF₂|=,所以x₁+1=,得x₁=,y₁=.所以M.M在C₁上,且橢圓C₁的半焦距c=1,于是消去b²并整理得9a⁴-37a²+4=0.
解得a=2(a=不合題意,舍去). b²=4-1=3.故橢圓C₁的方程為.
(2)因?yàn)閘∥OM,所以l與OM的斜率相同.故l的斜率k==.設(shè)l的方程為y=(x-m).
由消去y并整理得9x²-16mx+8m²-4=0.設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則x₁+x₂=,x₁x₂=.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824010105455351.png" style="vertical-align:middle;" />⊥,所以x₁x₂+y₁y₂=0.所以x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+6(x₁-m)(x₂-m)=7x₁x₂-6m(x₁+x₂)+6m²
=7·-6m·+6m²=(14m²-28)=0.所以m=±.此時(shí)Δ=(16m)²-4×9(8m²-4)＞0.
故所求直線l的方程為y=x-2,或y=x+2.
點(diǎn)評(píng)：難題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)，通過布列方程，達(dá)到解題目的。本題（2）在利用韋達(dá)定理的基礎(chǔ)上，借助于向量垂直，向量的數(shù)量積為0，得到了m的方程。