【題目】設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在區(qū)間[﹣2,2]上的最大值、最小值分別是M,m,集合A={x|f(x)=x}.
(1)若A={1,2},且f(0)=2,求M和m的值;
(2)若A={1},且a≥1,記g(a)=M+m,求g(a)的最小值.
【答案】
(1)解:由f(0)=2可知c=2,
又A={1,2},故1,2是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的兩實根.
∴ ,解得a=1,b=﹣2
∴f(x)=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,
因為x∈[﹣2,2],根據(jù)函數(shù)圖象可知,當(dāng)x=1時,
f(x)min=f(1)=1,即m=1;
當(dāng)x=﹣2時,f(x)max=f(﹣2)=10,即M=10
(2)解:由題意知,方程ax2+(b﹣1)x+c=0有兩相等實根x1=x2=1,
根據(jù)韋達定理得到: ,即 ,
∴f(x)=ax2+bx+c=ax2+(1﹣2a)x+a,x∈[﹣2,2]其對稱軸方程為x= =1﹣
又a≥1,故1﹣
∴M=f(﹣2)=9a﹣2
m=
則g(a)=M+m=9a﹣ ﹣1
又g(a)在區(qū)間[1,+∞)上為單調(diào)遞增的,∴當(dāng)a=1時,g(a)min=
【解析】(1)由f(0)=2得到c的值,集合A的方程可變?yōu)閒(x)﹣x=0,因為A={1,2},得到1,2是方程的解,根據(jù)韋達定理即可求出a和b,把a、b、c代入得到f(x)的解析式,在[﹣2,2]上根據(jù)函數(shù)的圖象可知m和M的值.(2)由集合A={1},得到方程f(x)﹣x=0有兩個相等的解都為1,根據(jù)韋達定理求出a,b,c的關(guān)系式,根據(jù)a大于等于1,利用二次函數(shù)求最值的方法求出在[﹣2,2]上的m和M,代入g(a)=m+M中得到新的解析式g(a)=9a﹣ ﹣1,根據(jù)g(a)的在[1,+∞)上單調(diào)增,求出g(a)的最小值為g(1),求出值即可.
【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解二次函數(shù)的圖象是一條拋物線,對稱軸方程為頂點坐標是;當(dāng)時,拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時,拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|﹣4<x<1},B={x|( )x≥2}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)= 的定義域為C,求(RA)∩C.
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【題目】某商品在近30天內(nèi)每件的銷售價格P(元)與時間t(天)的函數(shù)是:P=
該商品的日銷售量Q(件)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系是:Q=﹣t+40(0<t≤30,t∈N*),求這種商品的日銷售金額的最大值.
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【題目】已知復(fù)數(shù)z1=(1+bi)(2+i),z2=3+(1﹣a)i(a,b∈R,i為虛數(shù)單位).
(1)若z1=z2 , 求實數(shù)a,b的值;
(2)若b=1,a=0,求| |.
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【題目】如圖,矩形ABCD所在的平面和平面互相垂直,等腰梯形中, , , , , 分別為的中點, 為底面的重心.
(Ⅰ)求證: ∥平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(x∈R),(a,b為實數(shù)).
(1)若f(1)=0,且函數(shù)f(x)的值域為[0,+∞),求f(x)的表達式;
(2)在(1)的條件下,若關(guān)于x方程|f(x+1)﹣1|=m|x﹣1|只有一個實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,求函數(shù)h(x)=2f(x+1)+x|x﹣m|+2m最小值.
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【題目】已知在四棱錐中,底面是菱形, , 平面, 分別是的中點.
(Ⅰ)求證: 平面;
(Ⅱ)若,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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【題目】如圖,在海岸線一側(cè)處有一個美麗的小島,某旅游公司為方便游客,在上設(shè)立了兩個報名點,滿足中任意兩點間的距離為.公司擬按以下思路運作:先將兩處游客分別乘車集中到之間的中轉(zhuǎn)點處(點異于兩點),然后乘同一艘輪游輪前往島.據(jù)統(tǒng)計,每批游客處需發(fā)車2輛, 處需發(fā)車4輛,每輛汽車每千米耗費元,游輪每千米耗費元.(其中是正常數(shù))設(shè)∠,每批游客從各自報名點到島所需運輸成本為元.
(1) 寫出關(guān)于的函數(shù)表達式,并指出的取值范圍;
(2) 問:中轉(zhuǎn)點距離處多遠時, 最小?
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