Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=

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x³-4x+4；
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若方程f（x）=kx-

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在[-3，3]恰有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間．導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，進(jìn)而得到極值，注意偶函數(shù)的性質(zhì)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到的單調(diào)性和k的符號，以及直線恒過的定點，即可得到k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）因為當(dāng)x≥0時，f（x）=

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x³-4x+4，
f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），當(dāng)0＜x＜2時，f′（x）＜0，x＞2時，f′（x）＞0，
即當(dāng)x≥0時，f（x）的減區(qū)間為[0，2]，增區(qū)間為[2，+∞），
由y=f（x）為偶函數(shù)，則當(dāng)x≤0時，f（x）的減區(qū)間為（-∞，-2]，增區(qū)間為[-2，0]，
又f（-2）=f（2）=-

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，f（0）=4．
綜上可得，f（x）的增區(qū)間為：[-2，0]，[2，+∞），減區(qū)間為：（-∞，-2]，[0，2]．
極大值f（0）=4，極小值f（-2）=f（2）=-

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，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=f（x）在[0，2]為減函數(shù)，在[2，3]為增函數(shù)，
又f（2）=-

4

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，f（3）=1，f（x）=kx-

4

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恒過點（0，-

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），
又f（x）=kx-

4

3

過點（3，1）時，k=

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，f（x）=kx-

4

3

過點（2，-

4

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）時，k=0，
則0≤k≤

7

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時，集合{xf（x）=kx-

4

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}有兩個元素，
又y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
同理可得-

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≤k≤0時，集合{x|f（x）=kx-

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}也有兩個元素，
綜上得實數(shù)k的取值范圍是[-

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，

7

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]．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，考查單調(diào)性的運用和其偶性的運用，屬于中檔題．