Question

15．如圖所示，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個截面，若四邊形EFGH為平行四邊形．
（1）求證：AB∥平面EFGH；
（2）若AB=4，CD=6，求四邊形EFGH周長的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過證明EH∥平面ABD，得出EH∥AB，從而證明AB∥平面EFGH；
（2）設(shè)EH=x，EF=y，由EH∥AB，EF∥CD，求出x、y的關(guān)系式，再求四邊形EFGH的周長l的取值范圍即可．

解答 解：（1）證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EH∥FG；
∵EH?平面ABD，F(xiàn)G?平面ABD，
∴EH∥平面ABD；
又∵EH?平面ABC，平面ABC∩平面ABD=AB，
∴EH∥AB；
又∵EH?平面EFGH，AB?平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH；
（2）設(shè)EH=x，EF=y，
∵EH∥AB，EF∥CD，
∴$\frac{EH}{AB}$=$\frac{CE}{CA}$，$\frac{EF}{CD}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{EH}{AB}$+$\frac{EF}{CD}$=$\frac{CE}{CA}$+$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AC}{AC}$=1；
又∵AB=4，CD=6，∴$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{6}$=1，
∴y=6（1-$\frac{x}{4}$），且0＜x＜4；
∴四邊形EFGH的周長為
l=2（x+y）=2[x+6（1-$\frac{x}{4}$）]
=12-x，
∴8＜12-x＜12；
∴四邊形EFGH周長的取值范圍是（8，12）．

點評 本題考查了空間中線面平行的判斷與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了平行線截得線段成比例的應(yīng)用問題，
是綜合性題目．