Question

12．已知向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$兩個不共線．
（1）若$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=6$\overrightarrow{{e}_{1}}$-8$\overrightarrow{{e}_{2}}$，試判斷$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$是否共線；
（2）若$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=6$\overrightarrow{{e}_{1}}$+23$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=4（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$），求證：A、B、D三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （1）觀察向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$的系數(shù)，分析不存在不存在常數(shù)λ使$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow$成立；
（2）求出$\overrightarrow{BD}$，觀察與$\overrightarrow{AB}$的關(guān)系．

解答 解：（1）因?yàn)橐阎�向�?\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$兩個不共線，并且$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=6$\overrightarrow{{e}_{1}}$-8$\overrightarrow{{e}_{2}}$，所以不存在常數(shù)λ使$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow$，所以$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$不共線；
（2）證明：
因?yàn)?\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=6$\overrightarrow{{e}_{1}}$+23$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=4（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$），所以$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}$=$10\overrightarrow{{e}_{1}}+15\overrightarrow{{e}_{2}}=5（2\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}）=5\overrightarrow{AB}$，
所以$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{BD}$共線，又有公共點(diǎn)B，所以A、B、D三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量共線基本道理的運(yùn)用；利用向量證明三點(diǎn)共線，只要證明向量共線并且有公共點(diǎn)即可．