Question

2．若關于x的指數(shù)函數(shù)方程4^x-（a+3）•2^x+1=0
（1）有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）在區(qū)間（-1，3]上有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）運用分離參數(shù)，可得a+3=2^x+2^-x，由指數(shù)函數(shù)的值域和基本不等式，可得a的范圍；
（2）由（1）可得a+3=2^x+2^-x，由指數(shù)函數(shù)的單調性，結合對號函數(shù)的單調性，可得2^x+2^-x的值域，由題意得到a的不等式，解得即可得到a的范圍．

解答 解：（1）4^x-（a+3）•2^x+1=0即為
a+3=$\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}$=2^x+2^-x，
由2^x＞0，可得2^x+2^-x≥2$\sqrt{{2}^{x}•{2}^{-x}}$=2，
當且僅當x=0時取得最小值2．
即有a+3≥2，即為a≥-1；
（2）由a+3=2^x+2^-x，
x∈（-1，3]，即有2^x∈（$\frac{1}{2}$，8]，
2^x+2^-x在（-1，0）遞減，且2^x+2^-x∈（2，$\frac{5}{2}$），
在（0，3]遞增，2^x+2^-x∈（2，$\frac{65}{8}$]，
由在區(qū)間（-1，3]上有且只有一個實數(shù)解，
則a+3=2或$\frac{5}{2}$≤a+3≤$\frac{65}{8}$，
解得a=-1或-$\frac{1}{2}$≤a≤$\frac{41}{8}$．

點評 本題考查指數(shù)函數(shù)的單調性的運用，考查函數(shù)和方程的轉化思想和對號函數(shù)的值域的運用，屬于中檔題．