Question

13．已知a為如圖所示的算法框圖中輸出的結(jié)果，則二項式${（x+\frac{a}{x^2}）^9}$的展開式中的常數(shù)項為（　　）

• A． 84
• B． -84
• C． 672
• D． -672

Answer 1

分析 通過讀取框圖求得a的值，代入二項式，寫出二項展開式的通項，由x的指數(shù)等于0求得r值，則答案可求．

解答 解：a=2，i=1＜2015，執(zhí)行$a=\frac{1}{1-2}=-1$，i=1+1=2；
i=2＜2015，執(zhí)行$a=\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}$，i=2+1=3；
i=3＜2015，執(zhí)行a=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$；
…
∴執(zhí)行過程中a的值以3為周期周期出現(xiàn)，
∵2014=671×3+1，∴a=-1．
則${（x+\frac{a}{x^2}）^9}$=$（x-\frac{1}{{x}^{2}}）^{9}$．
由${T}_{r=1}={C}_{9}^{r}{x}^{9-r}•（-\frac{1}{{x}^{2}}）^{r}$=$（-1）^{r}{C}_{9}^{r}•{x}^{9-3r}$．
令3-r=0，得r=3．
∴二項式${（x+\frac{a}{x^2}）^9}$的展開式中的常數(shù)項為$（-1）^{3}{C}_{9}^{3}=-84$．
故選：B．

點評 本題考查程序框圖，考查了二項式系數(shù)的性質(zhì)，正確讀取框圖是解答該題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)的計算題．