Question

已知數(shù)列{A_n}：a₁，a₂，a₃，…，a_n（n∈N^*，n≥2）滿足a₁=a_n=0，且當(dāng)2≤k≤n（k∈N）時(shí)，（a_k-a_k-1）²=1，記S（A_n）=

n

i=1

a_i．
（Ⅰ）寫出S（A₅）的所有可能的值；      
（Ⅱ）求S（A_n）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件，利用列舉法即可寫出S（A₃）的所有可能的值；      
（Ⅱ）利用數(shù)列的遞推關(guān)系，求出S（A_n）的表達(dá)式，即可求出S（A_n）的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由滿足條件的數(shù)列A₅的所有可能情況有：0，1，2，1，0．； 0，1，0，1，0．；0，1，0，-1，0．；0，-1，-2，-1，0.0，-1，0，1，0．；0，-1，0，-1，0．
∴S（A₅）的所有可能的值為：4，2，0，-2，-4．
（Ⅱ）由(ak-ak-1)2=1，可設(shè)a_k-a_k-1=c_k-1，則c_k-1=1或c_k-1=-1（2≤k≤n，k∈N^*），
∵a_n-a_n-1=c_n-1，
∴a_n=a_n-1+c_n-1=a_n-2+c_n-2+c_n-1=…=a₁+c₁+c₂+…+c_n-2+c_n-1．
∵a₁=a_n=0，∴c₁+c₂+…+c_n-1=0，且n為奇數(shù)，c₁，c₂，…，c_n-1是由  

n-1

2

個(gè)1和

n-1

2

個(gè)-1構(gòu)成的數(shù)列．
∴S（A_n）=c₁+（c₁+c₂）+…+（c₁+c₂+…+c_n-1）=（n-1）c₁+（n-2）c₂+…+2c_n-2+c_n-1
則當(dāng)c₁，c₂，…，c_n-1的前

n-1

2

項(xiàng)取1，后

n-1

2

項(xiàng)取-1時(shí)S（A_n）最大，
此時(shí)S（A_n）=(n-1)+(n-2)+…+

n+1

2

-(

n-1

2

+…+2+1)=

(n-1)2

4

．
證明如下：假設(shè)c₁，c₂，…，c_n-1的前

n-1

2

項(xiàng)中恰有t項(xiàng)cm1，cm2，…cmt取-1，
則c₁，c₂，…，c_n-1的后

n-1

2

項(xiàng)中恰有t項(xiàng)cn1，cn2，…，cnt取1，其中1≤t≤

n-1

2

，1≤mi≤

n-1

2

，

n-1

2

＜ni≤n-1，i=1，2，…，t．
∴S（A_n）=(n-1)c1+(n-2)c2+…+

n+1

2

c

n-1

2

+

n-1

2

c

n+1

2

+…+2cn-2+cn-1
=(n-1)+(n-2)+…+

n+1

2

-(

n-1

2

+…+2+1)-2[（n-m₁）+（n-m₂）+…+（n-m_t）]+2[（n-n₁）+（n-n₂）+…+（n-n_t）]
=

(n-1)2

4

-2

t

i=1

(ni-mi)＜

(n-1)2

4

．
∴S（A_n）的最大值為

(n-1)2

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的最值的求解，利用遞推數(shù)列求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，難度較大．