Question

1．在△ABC中，已知tan$\frac{A+B}{2}$=sinC，給出以下四個(gè)結(jié)論①②③④，其中正確的是②④（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．
①$\frac{tanA}{tanB}$=2；②1＜sinA+sinB≤$\sqrt{2}$；③sin²A+cos²B=1；④cos²A+cos²B=sin²C．

Answer 1

分析 先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式化簡(jiǎn)整理題設(shè)等式求得cos$\frac{A+B}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，進(jìn)而求得A+B=90°進(jìn)而求得①tanA•cotB=tanA•tanA=2等式不一定成立，排除；②利用兩角和公式化簡(jiǎn)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得其范圍符合，②正確；③sin²A+cos²B=2sin²A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可知cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，進(jìn)而根據(jù)C=90°可知sinC=1，進(jìn)而可知二者相等．④正確．

解答 解：∵tan$\frac{A+B}{2}$=sinC，
∴$\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}$=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A+B}{2}$，
整理求得cos（A+B）=0，
∴A+B=90°．
∴$\frac{tanA}{tanB}$=tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于2，①不正確．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+45°），
45°＜A+45°＜135°，$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤$\sqrt{2}$，
所以②正確；
cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
所以cos²A+cos²B=sin²C．
所以④正確．
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A=1不一定成立，故③不正確．
綜上知②④正確
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和推理的能力，考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．