Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=x³-4x．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并求f（x）的減區(qū)間；
（2）設(shè)x₁，x₂分別是函數(shù)f（x）的最小零點(diǎn)和最大零點(diǎn)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[x₁，x₂]上的最值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷函數(shù)是奇函數(shù)，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，從而得到函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）求出函數(shù)的零點(diǎn)，列出表格，從而得到函數(shù)的最大值和最小值．

解答 解：（1）f（x）的定義域是R，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且f（-x）=（-x）³-4（-x）=-（x³-4x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數(shù)．
$f'（x）=3{x^2}-4=3（x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）（x-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$，
令f′（x）＜0，得$-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}＜x＜\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴f（x）的減區(qū)間為：$（-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{，^{\;}}\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$．
（2）令f（x）=x³-4x=x（x+2）（x-2）=0，
解得x=0或x=±2，
觀察x、f′（x）、f（x）之間關(guān)系的表：

x	-2	$（-2{，^{\;}}-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$	$-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$	$（-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{，^{\;}}\frac{{2\sqrt{3}}}{3}）$	$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$	$（\frac{{2\sqrt{3}}}{3}{，^{\;}}2）$	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	0	↑	$\frac{{16\sqrt{3}}}{9}$	↓	$-\frac{{16\sqrt{3}}}{9}$	↑	0

由上表可知，當(dāng)$x=-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$時(shí)，f（x）取最大值$\frac{{16\sqrt{3}}}{9}$；                     
當(dāng)$x=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$時(shí)，f（x）取最小值$-\frac{{16\sqrt{3}}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．