Question

若（ax+2b）⁶的展開(kāi)式中x³與x⁴的系數(shù)之比為4：3，其中a＞0，b≠0
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求（ax+2b）⁶的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）令，求F（a，b）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由二項(xiàng)式定理可得（ax+2b）⁶的展開(kāi)式中含x³與含x⁴的項(xiàng)的系數(shù)，由已知可得得a=2b，把a(bǔ)=1代入，由二項(xiàng)式系數(shù)的特點(diǎn)可得答案；
（2）可得=，構(gòu)造函數(shù)F（x）=，x＞0，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的最值，進(jìn)而可得答案．
解答：解：（1）（ax+2b）⁶的展開(kāi)式中含x³的項(xiàng)為，
故其系數(shù)為=160a³b³，
含x⁴的項(xiàng)為，系數(shù)為4=60a⁴b²，
故可得=，解得a=2b，
所以當(dāng)a=1時(shí)，（ax+2b）⁶=（x+1）⁶展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為：
T₄==20x³
（2）由a=2b＞0，=，
構(gòu)造函數(shù)F（x）=，x＞0
求導(dǎo)數(shù)可得F′（x）=x-，
令F′（x）＞0，可解得x＞2，令F′（x）＜0，可解得0＜x＜2，
故函數(shù)F（x）在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，+∞）單調(diào)遞增，
故可得F（a，b）的最小值為F（2）=6
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，以及用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)閉區(qū)間的最值，屬中檔題．