Question

10．在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別是BB₁，DD₁的中點(diǎn)，G為AE的中點(diǎn)且FG=3，則△EFG的面積的最大值為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． 3
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，使用向量法求出E到直線FG的距離，代入面積公式，使用不等式的性質(zhì)求出最值．

解答 解：連接AC交BD于O，
∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
以O(shè)C，OD，OZ為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
設(shè)OC=a，OD=b，棱柱的高為h，
則A（-a，0，0），E（0，-b，$\frac{h}{2}$），F(xiàn)（0，b，$\frac{h}{2}$），∴G（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{2}$，$\frac{h}{4}$）．
$\overrightarrow{FG}$=（-$\frac{a}{2}$，-$\frac{3b}{2}$，-$\frac{h}{4}$），$\overrightarrow{FE}$=（0，-2b，0），
∴cos＜$\overrightarrow{FG}，\overrightarrow{FE}$＞=$\frac{\overrightarrow{FG}•\overrightarrow{FE}}{|\overrightarrow{FG}|•|\overrightarrow{FE}|}$=$\frac{3^{2}}{3•2b}$=$\frac{2}$，
∴E到直線FG的距離d=|$\overrightarrow{FE}$|sin＜$\overrightarrow{FG}，\overrightarrow{FE}$＞=2b•$\frac{\sqrt{4-^{2}}}{2}$=b$\sqrt{4-^{2}}$，
∴S_△EFG=$\frac{1}{2}•FG•d$=$\frac{3}{2}b\sqrt{4-^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{^{2}（4-^{2}）}$≤$\frac{3}{2}$×$\frac{^{2}+4-^{2}}{2}$=3．當(dāng)且僅當(dāng)b²=4-b²即b²=2時取等號．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了空間向量與空間距離的計(jì)算，不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．