Question

1．知a，b，c，d是正實(shí)數(shù)，且abcd=1，求證：a⁵+b⁵+c⁵+d⁵≥a+b+c+d．

Answer 1

分析 由不等式的性質(zhì)可得：a⁵+b+c+d≥4$\root{4}{{a}^{5}bcd}$=4a，同理可得其他三個(gè)式子，將各式相加即可得出結(jié)論．

解答 證明：∵a，b，c，d是正實(shí)數(shù)，且abcd=1，
∴a⁵+b+c+d≥4$\root{4}{{a}^{5}bcd}$=4a，
同理可得：a+b⁵+c+d≥4$\root{4}{a^{5}cd}$=4b，
a+b+c⁵+d≥4$\root{4}{ab{c}^{5}d}$=4c，
a+b+c+d⁵≥4$\root{4}{abcentd1ex^{5}}$=4d，
將上面四式相加得：a⁵+b⁵+c⁵+d⁵+3a+3b+3c+3d≥4a+4b+4c+4d，
∴a⁵+b⁵+c⁵+d⁵≥a+b+c+d．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的證明，屬于中檔題．