【題目】已知函數(shù)為常數(shù),).

(1)討論函數(shù)的單調區(qū)間;

(2)當時,若函數(shù),是自然對數(shù)的底數(shù))上有兩個零點,求的最小值.

【答案】見解析

【解析】(1)函數(shù)的定義域為R,由,得. ...............2分

時,對都有,當變化時,,的變化如下表:

0

+

0

_

極大值

此時,的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為. ................4分

時,.由,得.當變化時,的變化如下表:

0

+

0

-

0

+

極大值

極小值

此時,的遞增區(qū)間為,,遞減區(qū)間為.

時,.此時,的遞增區(qū)間為,無減區(qū)間. .....6分

時,.由,得.當變化時,,的變化如下表:.

0

+

0

-

0

+

極大值

極小值

此時,的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為.

綜上所述,當時,的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為;

時,的遞增區(qū)間為,,遞減區(qū)間為;

時,的遞增區(qū)間為,無減區(qū)間;

時,的遞增區(qū)間為,,遞減區(qū)間為. ……8分

(2)當時,.由(1)可知,上為增函數(shù),

的極大值為,所以上有一個零點.

,且上為減函數(shù),則必有. ................9分

要想函數(shù)上還有一個零點,同時考慮到函數(shù)上為增函數(shù),

則只需,且.又因為,

所以當時,函數(shù)還有一個零點,則的最小值為2. ................12分

綜上所述,若上有兩個零點時,的最小值為2. ……13分

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