【題目】如圖,在四棱錐S ABCD中,平面SAD⊥平面ABCD.四邊形ABCD為正方形,且點(diǎn)PAD的中點(diǎn),點(diǎn)QSB的中點(diǎn).

(1)求證:CD⊥平面SAD

(2)求證:PQ∥平面SCD

(3)若SASD,點(diǎn)MBC的中點(diǎn),在棱SC上是否存在點(diǎn)N,使得平面DMN⊥平面ABCD?若存在,請(qǐng)說明其位置,并加以證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)存在點(diǎn)NSC中點(diǎn),使得平面DMN⊥平面ABCD.

【解析】

試題分析:(1)由四邊形為正方形可得,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即可得結(jié)論;(2)取的中點(diǎn),連,由中位線定理可得,從而可得四邊形為平行四邊形,所以,進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論;(3) 存在點(diǎn)中點(diǎn),使得平面平面,先證明,再證明平面,可得平面, 面面垂直的判定定理即可得結(jié)論.連接 交于點(diǎn),連接.

試題解析:(1)因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為正方形,則CDAD.

又平面SAD⊥平面ABCD

且面SAD∩面ABCD=AD,

所以CD⊥平面SAD.

(2)取SC的中點(diǎn)R,連QRDR.

由題意知:PDBCPD=12BC.

在△SBC中,QSB的中點(diǎn),RSC的中點(diǎn),

所以QRBCQR=12BC.

所以QRPDQR=PD

則四邊形PDRQ為平行四邊形.

所以PQDR.又PQ平面SCD,DR平面SCD,

所以PQ∥平面SCD.

(3)在點(diǎn)NSC中點(diǎn),使得平面DMN⊥平面ABCD.

連接PCDM交于點(diǎn)O,連接PM、SP

因?yàn)?/span>PDCM,并且PD=CM

所以四邊形PMCD為平行四邊形,所以PO=CO.

又因?yàn)?/span>NSC中點(diǎn),

所以NOSP.

因?yàn)槠矫?/span>SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,并且SPAD,

所以SP⊥平面ABCD,

所以NO⊥平面ABCD,

又因?yàn)?/span>NO平面DMN,

所以平面DMN⊥平面ABCD.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理及判定定理,屬于難題.證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理,使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題(2)是就是利用方法①證明的.

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x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元), 表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).

=19,yx的函數(shù)解析式;

若要求需更換的易損零件數(shù)不大于的頻率不小于0.5,的最小值;

假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買19個(gè)易損零件,或每臺(tái)都購(gòu)買20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)還是20個(gè)易損零件?

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