Question

【題目】如圖，在四棱錐S ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四邊形ABCD為正方形，且點P為AD的中點，點Q為SB的中點．

(1)求證：CD⊥平面SAD．

(2)求證：PQ∥平面SCD．

(3)若SA＝SD，點M為BC的中點，在棱SC上是否存在點N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，請說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）見解析(3)存在點N為SC中點,使得平面DMN⊥平面ABCD.

【解析】

試題分析：(1)由四邊形為正方形可得,再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即可得結(jié)論；(2)取的中點，連,由中位線定理可得，從而可得四邊形為平行四邊形，所以，進而根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論；(3) 存在點為中點,使得平面平面，先證明，再證明平面，可得平面, 面面垂直的判定定理即可得結(jié)論.連接 交于點，連接.

試題解析：(1)因為四邊形ABCD為正方形,則CD⊥AD.

又平面SAD⊥平面ABCD，

且面SAD∩面ABCD=AD，

所以CD⊥平面SAD.

(2)取SC的中點R，連QR，DR.

由題意知：PD∥BC且PD=12BC.

在△SBC中，Q為SB的中點，R為SC的中點，

所以QR∥BC且QR=12BC.

所以QR∥PD且QR=PD，

則四邊形PDRQ為平行四邊形.

所以PQ∥DR.又PQ平面SCD，DR平面SCD，

所以PQ∥平面SCD.

(3)在點N為SC中點,使得平面DMN⊥平面ABCD.

連接PC、DM交于點O，連接PM、SP，

因為PD∥CM，并且PD=CM，

所以四邊形PMCD為平行四邊形，所以PO=CO.

又因為N為SC中點，

所以NO∥SP.

因為平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，并且SP⊥AD，

所以SP⊥平面ABCD，

所以NO⊥平面ABCD,

又因為NO平面DMN，

所以平面DMN⊥平面ABCD.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理及判定定理，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題（2）是就是利用方法①證明的.