Question

在矩形ABCD中，AB=3

3

，BC=3，沿對角線BD將△BCD折起，使點(diǎn)C移到C′點(diǎn)，且C′O⊥面ABD于點(diǎn)O，點(diǎn)O恰在AB上．
（1）求證：BC′⊥面AC′D
（2）求點(diǎn)A與平面BC′D的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知得DA⊥AB，DA⊥BC′，BC′⊥DC′，由此能證明BC′⊥平面AC′D．
（2）過A作AH⊥C′D于H，由BC′⊥平面AC′D，知BC′⊥AH．從而AH⊥平面BC′D．故AH的長就是A點(diǎn)到平面BC′D的距離．由此能求出點(diǎn)A到平面BC′D的距離．

解答： （1）證明：∵DA?平面ABD，
AB是BC′在平面ABD內(nèi)的射影，
DA⊥AB，
∴DA⊥BC′，BC′⊥DC′，
∴BC′⊥平面AC′D．
（2）解：如圖所示，過A作AH⊥C′D于H，
∵BC′⊥平面AC′D，∴BC′⊥AH．?∴AH⊥平面BC′D．故AH的長就是A點(diǎn)到平面BC′D的距離．?
∵DA⊥AB，DA⊥BC，∴DA⊥平面ABC′．∴DA⊥AC′．?
在Rt△AC′B中，?
AC′=

AB2-BC2

=3

2

，?
在Rt△BC′D中，C′D=CD=3

3

．?
在Rt△C′AD中，由面積關(guān)系，
得AH=

AC′•AD

C′D

=

3 2 •3

3 3

=

6

，
∴點(diǎn)A到平面BC′D的距離為

6

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查點(diǎn)到直線的距離的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．