Question

6．已知點M在線段AB上，且|AM|=1，$|MB|=\sqrt{2}$，當(dāng)線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動時，動點M的軌跡記為C．
（1）求C的方程；
（2）過點P（0，1）且互相垂直的兩條直線交C于E，F(xiàn)（E，F(xiàn)異于點P）兩點，當(dāng)△PEF的外接圓的圓心在直線y=x上時，求直線EF的方程．

Answer 1

分析 （1）欲求點P的軌跡方程，設(shè)點M（x，y），只須求出其坐標(biāo)x，y的關(guān)系式即可，利用$\overrightarrow{AM}=\frac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{MB}$，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合長為$\sqrt{2}+1$的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，即可得出結(jié)論．
（2）設(shè)直線PE的斜率為k，則直線PE的方程為：y=kx+1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kx=0⇒x_E、y_E
以-$\frac{1}{k}$換x_E=$\frac{-4k}{1+2{k}^{2}}$．中的k得x_F、y_F，由線段EF中點為H（$\frac{{x}_{E}+{x}_{F}}{2}，\frac{{y}_{E}+{y}_{F}}{2}$）在直線y=x上，
即x_E+x_F=y_E+y_F，解得k即可．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y）、A（x₀，0）、B（0，y₀），
則$\overrightarrow{AM}=\frac{\sqrt{2}}{2}\overrightarrow{MB}$，∴（x-x₀，y）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（-x，y₀-y），
${x}_{0}=-\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}x，{y}_{0}=（\sqrt{2}+1）y$，…①
∵|AB|=$\sqrt{2}$+1，∴${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=（\sqrt{2}+1）^{2}$…②
把①代入②得$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，故動點M的軌跡記為C：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)直線PE的斜率為k，則直線PE的方程為：y=kx+1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kx=0⇒x_E=$\frac{-4k}{1+2{k}^{2}}$．
${y}_{E}=k{x}_{E}+1=\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
以-$\frac{1}{k}$換x_E=$\frac{-4k}{1+2{k}^{2}}$．中的k得x_F=$\frac{4k}{{k}^{2}+2}$，${y}_{F}=\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}+2}$，
∵△PEF的外接圓的圓心在斜邊EF的中點H處．
∵線段EF中點為H（$\frac{{x}_{E}+{x}_{F}}{2}，\frac{{y}_{E}+{y}_{F}}{2}$）在直線y=x上，
即x_E+x_F=y_E+y_F，∴$\frac{-4k}{1+2{k}^{2}}+\frac{4k}{{k}^{2}+2}=\frac{1-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+\frac{{k}^{2}-2}{{k}^{2}+2}$，
解得k=-2或$\frac{1}{2}$．
當(dāng)k=-2時，E（$\frac{8}{9}$，$\frac{-7}{9}$），F(xiàn)（$\frac{-4}{3}$，$\frac{1}{3}$），此時EF方程為：3x+6y+2=0
當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時，F(xiàn)（$\frac{8}{9}$，$\frac{-7}{9}$），E（$\frac{-4}{3}$，$\frac{1}{3}$），此時EF方程為：3x+6y+2=0
綜上直線EF的方程為：3x+6y+2=0

點評 本題考查了動點軌跡問題，直線與橢圓的位置關(guān)系，運算能力，屬于中檔題．