某海域有、兩個島嶼,島在島正東4海里處。經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn),某種魚群洄游的路線是曲線,曾有漁船在距島、島距離和為8海里處發(fā)現(xiàn)過魚群。以、所在直線為軸,的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系。

(1)求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(6分)
(2)某日,研究人員在、兩島同時用聲納探測儀發(fā)出不同頻率的探測信號(傳播速度相同),、兩島收到魚群在處反射信號的時間比為,問你能否確定處的位置(即點的坐標(biāo))?(8分)

(1) ;(2)點的坐標(biāo)為

解析試題分析:(1)由題意知曲線是以、為焦點且長軸長為8的橢圓         3分
,則,故                     5分
所以曲線的方程是                           6分
(2)由于、兩島收到魚群發(fā)射信號的時間比為,
因此設(shè)此時距、兩島的距離分別比為             7分
即魚群分別距、兩島的距離為5海里和3海里。       8分
設(shè),,由 ,    10分
,                                     12分 
                                     13分
的坐標(biāo)為                 14分
考點:本題主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓與圓的位置關(guān)系。
點評:中檔題,利用橢圓的定義,明確曲線是橢圓并求得其標(biāo)準(zhǔn)方程為,作為實際問題解決,很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的妙用。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
雙曲線與雙曲線有共同的漸近線,且經(jīng)過點,橢圓以雙曲線的焦點為焦點且橢圓上的點與焦點的最短距離為,求雙曲線和橢圓的方程。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知、為橢圓的焦點,且直線與橢圓相切.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)過的直線交橢圓于、兩點,求△的面積的最大值,并求此時直線的方程。

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(本題12分)直線l:y=kx+1與雙曲線C:的右支交于不同的兩點A,B.
(Ⅰ)求實數(shù)k的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.

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(本小題滿分12分)
已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率, .
(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)過點的直線與該橢圓交于兩點,且,求直線的方程.

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(本題滿分12分)如圖,在平面直坐標(biāo)系中,已知橢圓,經(jīng)過點,其中e為橢圓的離心率.且橢圓與直線 有且只有一個交點。

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)不經(jīng)過原點的直線與橢圓相交與A,B兩點,第一象限內(nèi)的點在橢圓上,直線平分線段,求:當(dāng)的面積取得最大值時直線的方程。

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(本題10分)雙曲線的離心率等于4,且與橢圓有相同的焦點,求此雙曲線方程.

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已知橢圓過點,且離心率e=.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓交于不同的兩點、,且線段的垂直平分線過定點,求的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本題滿分12分)已知半徑為6的圓軸相切,圓心在直線上且在第二象限,直線過點
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)若直線與圓相交于兩點且,求直線的方程.

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