Question

14．已知點M（-5，0），N（0，5），P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上一動點，則S_△MNP的最小值為5．

Answer 1

分析 求出與MN平行的直線的斜率，設出與MN平行的直線方程與橢圓聯(lián)立，利用判別式為0，求出直線方程，求出平行線之間的距離，然后求解面積．

解答 解：點M（-5，0），N（0，5），斜率為：1，MN的方程為：x-y+5=0，
與MN平行的直線方程設為y=x+n，
直線與橢圓聯(lián)立消去y可得：$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{（x+n）}^{2}}{3}$=1，
可得3x²+4nx+2n²-6=0，
△=16n²-12（2n²-6）=0，解得n=3．
與MN平行的直線方程為：x-y+3=0，
平行線之間的距離為：$\frac{|5-3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
|MN|=5$\sqrt{2}$，
則S_△MNP的最小值為：$\frac{1}{2}×5\sqrt{2}×\sqrt{2}$=5．
故答案為：5．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，橢圓的簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力．