Question

4．已知P是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A、B，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的值是（　�。�

• A． -$\frac{3}{8}$
• B． $\frac{3}{16}$
• C． -$\frac{\sqrt{3}}{8}$
• D． 不能確定

Answer 1

分析 設(shè)P（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{3}$-n²=1，即m²-3n²=3，求出漸近線方程，求得交點(diǎn)A，B，再求向量PA，PB的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得到．

解答 解：設(shè)P（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{3}$-n²=1，即m²-3n²=3，
由雙曲線$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的漸近線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
則由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\\ y-n=-\sqrt{3}（x-m）\end{array}\right.$解得交點(diǎn)A（$\frac{3m+\sqrt{3}n}{4}$，$\frac{\sqrt{3}m+n}{4}$）；
由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x\\ y-n=\sqrt{3}（x-m）\end{array}\right.$解得交點(diǎn)B（$\frac{3m-\sqrt{3}n}{4}$，$\frac{n-\sqrt{3}m}{4}$）．
$\overrightarrow{PA}$=（$\frac{\sqrt{3}n-m}{4}$，$\frac{\sqrt{3}m-3n}{4}$），$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{-m-\sqrt{3}n}{4}$，$\frac{-3n-\sqrt{3}m}{4}$），
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\frac{\sqrt{3}n-m}{4}×\frac{-m-\sqrt{3}n}{4}$+$\frac{\sqrt{3}m-3n}{4}×\frac{-3n-\sqrt{3}m}{4}$=-$\frac{2{m}^{2}-6{n}^{2}}{16}$=-$\frac{6}{16}$=-$\frac{3}{8}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查漸近線方程的運(yùn)用，考查聯(lián)立方程組求交點(diǎn)的方法，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．