Question

已知偶函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1）且x∈[0，1]時f（x）=x，則函數(shù)g（x）=f（x）-log₃|x|的零點個數(shù)共有（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由題目給出的等式及函數(shù)是偶函數(shù)可得函數(shù)的周期為2，再由函數(shù)在x∈[-1，0]時，f（x）=x，且函數(shù)是偶函數(shù)知函數(shù)在x∈[-1，0]時的解析式仍為f（x）=-x，
所以函數(shù)在整個定義域上的圖象可知，分析函數(shù)y=log₃x在x=3時的函數(shù)值為1，所以兩函數(shù)圖象的交點可知，即函數(shù)g（x）的零點個數(shù)可求

解答： 解：由f（1+x）=f（1-x），取x=x+1，得：f（x+1+1）=f（1-x-1），
所以f（x+2）=f（-x），又因為函數(shù)為偶函數(shù)，
所以f（x+2）=f（-x）=f（x），所以函數(shù)f（x）是以2為周期的周期函數(shù)．
因為當x∈[-1，0]時，f（x）=x，由偶函數(shù)可知，當x∈[-1，0]時，f（x）=-x，
所以函數(shù)f（x）的圖象是f（x）=x在[-1，1]內的部分左右平移2個單位周期出現(xiàn)，
0求函數(shù)g（x）=f（x）-|log₃x|的零點個數(shù)，就是求兩函數(shù)y=f（x）與y=|log₃x|的交點個數(shù)，由于log₃3=1，所以兩函數(shù)在（0，3]內有2個交點，
根據對稱性可知：[-3，0）內有2個交點，
所以交點總數(shù)為4個，所以函數(shù)g（x）=f（x）-|log₃x|的零點個數(shù)為4．
故選：D．

點評：本題考查了函數(shù)的周期性與函數(shù)的零點，考查了函數(shù)周期的求法，解答此題的關鍵是明確函數(shù)g（x）的零點個數(shù)就是兩函數(shù)y=f（x）與y=log₃x的交點個數(shù)．