Question

已知函數f（x）=

a

•

b

，

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx）．
（Ⅰ）求f（x）的對稱軸；
（Ⅱ）若x∈[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,兩角和與差的正弦函數

專題：計算題,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（Ⅰ）運用向量的數量積的坐標公式和二倍角公式及兩角和的正弦公式，即可化簡f（x），再由對稱軸方程，即可得到；
（Ⅱ）運用正弦函數的值域和最值性質，通過x的范圍，即可得到所求f（x）的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由

a

=（sinx，cosx），

b

=（cosx，cosx）．
則函數f（x）=

a

•

b

=sinxcosx+cos²x=

1

2

（sin2x+cos2x）+

1

2

則f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

由2x+

π

4

=kπ+

π

2

得x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z）；
∴f（x）的對稱軸為x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

∵x∈[

π

12

，

π

2

]∴2x+

π

4

∈[

5π

12

，

5π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

∈[0，

1+ 2

2

]．

點評：本題考查平面向量的數量積的坐標公式和二倍角公式、兩角和的正弦公式，以及正弦函數的圖象和性質的運用，屬于中檔題．