已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
．
（1）橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A是橢圓上的一點，且點A到此兩焦點的距離之和為4，求橢圓的方程；
（2）求b為何值時，過圓x2+y2=t2上一點M（2，
2
）處的切線交橢圓于Q1，Q2兩點，且OQ1⊥OQ2．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,橢圓的標準方程
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由已知得
e=
c
a
=
2
2
2a=4
，由此能求出橢圓方程．
（2）過圓x2+y2=t2上的一點M（2，
2
）處的切線方程為2x+
2
y-6=0，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），由
2x+
2
y-6=0
x2+2y2=2b2
，得5x2-24x+36-2b2=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結合已知條件能求出b．
解答： 解：（1）∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，
橢圓上的一點A到兩焦點的距離之和為4，
∴
e=
c
a
=
2
2
2a=4
，
解得a=2，b=
2
，
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
2
=1．
（2）過圓x2+y2=t2上的一點M（2，
2
）處的切線方程為2x+
2
y-6=0，
令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），
則
2x+
2
y-6=0
x2+2y2=2b2
，
化為5x2-24x+36-2b2=0，
由△＞0，得b＞
3
10
5
，
x1+x2=
24
5
，x1x2=
36-2b2
5
，
y1y2=2x1x2-6(x1+
x
 
2
)+18=
18-4b2
5
，
∵OQ1⊥OQ2，
∴x1x2+y1y2=0，解得b2=9，
∵b＞
3
10
5
，
∴b=3．
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

y=f（x）在R上為增函數(shù)，且f（2m）＞f（-m+9），則實數(shù)m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若變量x，y滿足約束條件
x+y≤8
2y-x≤4
x≥0
y≥0
且z=5y-x的最大值為a，最小值為b，則a-b的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

二項式（1+px）n（p為大于零的常數(shù)）的展開式的第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，按x的升冪排列的前三項的系數(shù)之和是201．
（1）求常數(shù)n和p；
（2）求二項式（px-
1
x
）n展開式中含x4的項．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題：
①設a，b∈R，a2+2b2=6，則a+b的最小值是-3；
②已知x3+sinx-2a=0，4y3+sinycosy+a=0，則cos（x+2y）=0；
③若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，則x，y，z成等差數(shù)列；
④已知函數(shù)f（x）滿足f（1）=
1
3
，3f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），（x，y∈R）則f（2013）=3；
其中正確的命題是
 
．（把你認為正確命題的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EP⊥PB交PB于點F
（1）證明PA∥平面EDB；
（2）若PD=DC=2，求三棱錐A-DCE的體積；
（3）證明：PB⊥EFD平面．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一條直線與兩條異面直線中的一條相交，那么它與另一條直線之間的位置關系是（　�。�
A、異面B、相交或平行或異面
C、相交D、平行

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x
ax+b
（a，b為常數(shù)，且a≠0），滿足f（2）=1，方程f（x）=x有唯一實數(shù)解，
（1）求函數(shù)f（x）的解析式
（2）判斷f（x）在（1，3）上的單調性，并證明．
（3）若f（x）-3a+1＞0在（1，3）上恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知變量x，y滿足
x-3y+5≥0
2x-y≤0
x＞0，y＞0
，則z=log2x+log2y+1的最大值為
 
．

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