Question

3．關(guān)于x的方程x³-3x²-a=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（　　）

• A． （-4，0）
• B． （0，4）
• C． [0，+∞）
• D． （-∞，4]

Answer 1

分析 構(gòu)造f（x）=x³-3x²-a，則f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），可知f（0）=-a為極大值，f（2）=-4-a為極小值，從而當(dāng)極大值大于0，極小值小于0時(shí)，有三個(gè)不等實(shí)根，由此可得a的取值范圍．

解答 解：設(shè)f（x）=x³-3x²-a，
由題意知使函數(shù)f（x）=x³-3x²-a的極大值大于0且極小值小于0即可，
則f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴函數(shù)在（-∞，0），（2，+∞）上單調(diào)增，在（0，2）上單調(diào)減，
∴f（0）=-a為極大值，f（2）=-4-a為極小值，
當(dāng)f（0）＞0，f（2）＜0時(shí)，即-a＞0，-4-a＜0，即-4＜a＜0時(shí)，有三個(gè)不等實(shí)根，
故答案為：（-4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題以方程為載體，考查方程根的問題，考查函數(shù)與方程的聯(lián)系，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值．