Question

13．已知函數(shù)y=f（x）在R上的導(dǎo)函數(shù)f′（x），?x∈R都有f′（x）＜x，若f（4-m）-f（m）≥8-4m，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． [-2，2]
• B． [2，+∞）
• C． [0，+∞）
• D． （-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g（x）在R上是減函數(shù)，f（4-m）-f（m）≥8-4m，即g（4-m）≥g（m），可得 4-m≤m，由此解得a的范圍．

解答 解：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，x∈R
g′（x）=f′（x）-x＜0，
∴故函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，
∴f（4-m）-f（m）=g（4-m）+$\frac{1}{2}$（4-m）²-g（m）-$\frac{1}{2}$m²，
=g（4-m）-g（m）+8-4m≥8-4m，
∴g（4-m）≥g（m），
∴4-m≤m，解得：m≥2，
故選：B．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，會根據(jù)已知條件構(gòu)造輔助函數(shù)，考查分析問題解決問題的能力，難度比較大，屬于中檔題．