Question

給出下列命題：
①若向量

AB

，

BC

共線，則A，B，C三點(diǎn)共線；
②若空間中三個(gè)向量共面，則這三個(gè)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)一定共面；
③若存在實(shí)數(shù)x，y使

OP

=x

OA

+y

OB

，則O，P，A，B四點(diǎn)共面；
④“向量

a

，

b

共線”是“存在實(shí)數(shù)λ使

a

=λ

b

”的充要條件；
其中真命題序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,平面向量及應(yīng)用

分析：①由于向量

AB

，

BC

共線，且有相同的端點(diǎn)，故A，B，C共線；
②假設(shè)這三個(gè)向量平行，且不位于同一平面上，則這三個(gè)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)不共面，即可判斷；
③由共面向量定理，得到

OP

=x

OA

+y

OB

+(1-x-y)

OC

（C與O重合），即可判斷O，P，A，B是否共面；
④由向量共線定理和充分必要條件定義，注意

b

=

0

，

a

≠

0

，即可判斷．

解答： 解：①若向量

AB

，

BC

共線，則A，B，C三點(diǎn)共線，故①對(duì)；
②若空間中三個(gè)向量共面，假設(shè)這三個(gè)向量平行，且不位于同一平面上，
則這三個(gè)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)不共面，故②錯(cuò)；
③若存在實(shí)數(shù)x，y使

OP

=x

OA

+y

OB

，即

OP

=x

OA

+y

OB

+(1-x-y)

OC

（C與O重合），
由共面向量定理得O，P，A，B四點(diǎn)共面，故③對(duì)；
④“向量

a

，

b

共線”推不出“存在實(shí)數(shù)λ使

a

=λ

b

”，比如

b

=

0

，

a

≠

0

，則不存在實(shí)數(shù)λ使

a

=λ

b

，
反之成立，故“向量

a

，

b

共線”是“存在實(shí)數(shù)λ使

a

=λ

b

”的必要不充分條件，故④錯(cuò)．
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的有關(guān)知識(shí)，考查向量的共線定理、點(diǎn)共線、點(diǎn)共面的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．