Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+1，x＞0 -x2-4x +a，x≤0

在點(diǎn)（1，2）處的切線與f（x）的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先利用導(dǎo)數(shù)研究在點(diǎn)（1，2）處的切線方程，然后作出函數(shù)圖象，隨著a減小時(shí)，半圓向下移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A（-4，a）落在切線上時(shí)，在點(diǎn)（1，2）處的切線與f（x）的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，直到半圓與直線相切前，切線f（x）的圖象都有三個(gè)公共點(diǎn)，只需求出零界位置的值即可．

解答： 解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²+1，則f′（x）=2x
∴f′（1）=2×1=2則在點(diǎn)（1，2）處的切線方程為y=2x
當(dāng)x≤0時(shí)，y=f（x）=

-x2-4x

+a
即（x+2）²+（y-a）²=4（y≥a）
作出函數(shù)圖象如右圖
隨著a減小時(shí)，半圓向下移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A（-4，a）落在切線上時(shí)，在點(diǎn)（1，2）處的切線與f（x）的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，即a=2×（-4）=-8
再向下移動(dòng)，直到半圓與直線相切前，切線f（x）的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，相切時(shí)與f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)
即

|-4-a|

5

=2解得a=-4-2

5

＜-8
∴a的取值范圍是（-4-2

5

，-8]．
故答案為：（-4-2

5

，-8]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及函數(shù)圖象，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和分析問(wèn)題的能力，屬于難題．