Question

8．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{a{x}^{2}-4x+3}$．
（1）若a=-1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）的值域是（0，+∞），求a的值．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=-1代入函數(shù)解析式，求出內(nèi)函數(shù)g（x）=-x²-4x+3的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使y=f（x）的值域是（0，+∞），應(yīng)使h（x）=ax²-4x+3的值域?yàn)镽，由此可得a的值．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，$f（x）=（\frac{1}{3}）^{-{x}^{2}-4x+3}$．
令g（x）=-x²-4x+3，由于g（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞增，在（-2，+∞）上單調(diào)遞減，
而y=$（\frac{1}{3}）^{t}$在R上單調(diào)遞減，
∴f（x）的增區(qū)間為（-2，+∞），減區(qū)間為（-∞，-2）；
（2）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使y=f（x）的值域是（0，+∞），
應(yīng)使h（x）=ax²-4x+3的值域?yàn)镽，
若a≠0，h（x）為二次函數(shù)，其值域不可能為R，
∴a的值是0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法，考查了復(fù)合函數(shù)的值域，是中檔題．