Question

1．如圖所示，有塊正方形的鋼板ABCD，其中一個(gè)角有部分損壞，現(xiàn)要把它截成一塊正方形的鋼板EFGH．在直角三角形GFC中，∠GFC=θ．若截后的正方形鋼板EFGH的面積是原正方形ABCD的面積的三分之二，求θ的值．

Answer 1

分析 設(shè)AB=1，設(shè)CG=a，則CF=1-a，計(jì)算FG，根據(jù)面積比列方程解出a，得出CG，CF，得出θ的值．

解答 解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，CG=a，則BF=CG=a，CF=1-a，
∴FG=$\sqrt{C{F}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-2a+1}$．
∴正方形EFGH的面積S=FG²=2a²-2a+1=$\frac{2}{3}$．
解得a=$\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴CG=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}$，CF=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}$，或者CG=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}$，CF=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴tanθ=$\frac{CG}{CF}$=2+$\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$．
∴θ=arctan（2+$\sqrt{3}$）或θ=arctan（2-$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．