Question

過橢圓C：

y2

9

+

x2

4

=1上一動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀ ），x₀y₀≠0，引圓O：x²+y²=4的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，
（1）如果P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，

3 3

2

)，求直線AB的方程；
（2）兩條切線PA、PB是否可能互相垂直？若能垂直，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不可能垂直，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由過圓心在原點(diǎn)的圓上一點(diǎn)的切線方程求得過A，B的切線方程，再根據(jù)兩切線均過P求得過AB的方程，代入P點(diǎn)坐標(biāo)得答案；
（2）由題意可知OAPB的正方形，由此列式

x02+y02=8 y02 9 + x02 4 =1

解得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則PA、PB的方程分別為x₁x+y₁y=4，x₂x+y₂y=4，
而PA、PB交于P（x₀，y₀）
即x₁x₀+y₁y₀=4，x₂x₀+y₂y₀=4，
∴AB的直線方程為：x₀x+y₀y=4
∵P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，

3 3

2

)，
∴AB的直線方程為：2x-3

3

y+8=0；
（2）∵兩條切線PA、PB互相垂直，
∴

PA

•

PB

=0，
∴OAPB的正方形，
∴

x02+y02=8 y02 9 + x02 4 =1

，解得：x02=

4

5

．
∴x0=±

2 5

5

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2 5

5

，-

6 5

5

），（-

2 5

5

，

6 5

5

），（

2 5

5

，-

6 5

5

），（-

2 5

5

，-

6 5

5

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，具有一定的難度，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．