Question

10．已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分別為B₁A、C₁C、BC的中點(diǎn)．
（1）求證：直線DE∥平面ABC；
（2）求銳二面角B₁-AE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證法1：根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面ABC里面找到一條直線與DE平行即可，過(guò)DE構(gòu)造平行四邊形，使其與平面ABC相交，則可得DE與交線平行，所以進(jìn)一步可得DE∥平面ABC；
證法2：（空間向量法）如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，令A(yù)B=AA₁=4，只需平面ABC的法向量 與$\overrightarrow{DE}$垂直即可．
（2）：（空間向量法）如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，令A(yù)B=AA₁=4，求出兩個(gè)面的法向量即可利用向量法求解．

解答 解：（1）方法一：設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接DG，CG，則$DG\underline{\underline∥}\frac{1}{2}A{A_1}\underline{\underline∥}EC$，
四邊形DGCE為平行四邊形，∴DE∥GC，又DE?ABC，GC?ABC∴DE∥平面ABC．…（6分）
方法二：（空間向量法）如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，令A(yù)B=AA₁=4，
則A（0，0，0），E（0，4，2），F(xiàn)（2，2，0），B（4，0，0），
B₁（4，0，4），D（2，0，2）．…（2分）$\overrightarrow{DE}=（-2，4，0）$，
平面ABC的法向量為$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，0，4）$．
∵$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{A{A_1}}=0$，∴$\overrightarrow{DE}⊥\overrightarrow{A{A_1}}$，
又∵DE?ABC，∴DE∥平面ABC．…（6分）

（2）∵$\overrightarrow{{B_1}F}=（-2，2，-4）$，$\overrightarrow{EF}=（2，-2，-2）$，$\overrightarrow{AF}=（2，2，0）$，
∴$\overrightarrow{{B_1}F}•\overrightarrow{EF}=0$，$\overrightarrow{{B_1}F}•\overrightarrow{AF}=0$∴$\overrightarrow{{B_1}F}⊥\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{{B_1}F}⊥\overrightarrow{AF}$
∵AF∩EF=F∴B₁F⊥平面AEF．
∴平面AEF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{B_1}F}=（-2，2，-4）$．…（8分）
設(shè)平面 B₁AE的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，則由$\overrightarrow n•\overrightarrow{AE}=\overrightarrow n•\overrightarrow{A{B_1}}=0$，即$\left\{{\begin{array}{l}{2y+z=0}\\{x+z=0}\end{array}}\right.$．
令x=2，則z=-2，y=1∴$\overrightarrow n=（2，1，-2）$．
∴$cos＜\overrightarrow n，\overrightarrow{{B_1}F}＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{{B_1}F}}}{{|{\overrightarrow n}||{\overrightarrow{{B_1}F}}|}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$…（12分）
∴二面角B₁-AE-F的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．