Question

2．圓心在拋物線y²=2x（y≥0）上，經(jīng)過點(diǎn)（2，0）且面積最小的圓為⊙C，直線y=kx+2與⊙C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|取得最小值時(shí)k=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)圓心C（$\frac{{m}^{2}}{2}$，m）（m≥0），半徑為r，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和二次函數(shù)的最值求法，可得r的最小值和圓心C的坐標(biāo)，求得直線l恒過定點(diǎn)P，判斷P在圓內(nèi)，當(dāng)直線l⊥CP時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|取得最小值，運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，計(jì)算即可得到k的值．

解答 解：設(shè)圓心C（$\frac{{m}^{2}}{2}$，m）（m≥0），半徑為r，
則r=$\sqrt{（2-\frac{{m}^{2}}{2}）^{2}+{m}^{2}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{4}}{4}-{m}^{2}+4}$
=$\sqrt{\frac{1}{4}（{m}^{2}-2）^{2}+3}$，
當(dāng)m²=2，即m=$\sqrt{2}$時(shí)，r取得最小值$\sqrt{3}$，
圓心C（1，$\sqrt{2}$），圓的方程為（x-1）²+（y-$\sqrt{2}$）²=3，
直線y=kx+2恒過定點(diǎn)P（0，2），且P在圓內(nèi)．
當(dāng)直線l⊥CP時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|取得最小值．
由k_CP=$\frac{2-\sqrt{2}}{0-1}$=$\sqrt{2}$-2，可得
直線y=kx+2的斜率k=-$\frac{1}{\sqrt{2}-2}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓相交時(shí)截得弦長(zhǎng)的最值的情況，注意運(yùn)用直線恒過定點(diǎn)和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，同時(shí)考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．