Question

已知二次函數g（x）的圖象經過坐標原點，且滿足g（x+1）=g（x）+2x+1，設函數f（x）=mg（x）-ln（x+1），其中m為非零常數
（1）求函數g（x）的解析式；
（2）當-2＜m＜0時，判斷函數f（x）的單調性并且說明理由；
（3）證明：對任意的正整數n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．

Answer 1

（1）設g（x）=ax²+bx+c，g（x）的圖象經過坐標原點，所以c=0．
∵g（x+1）=g（x）+2x+1∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+2x+1
即：ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+2）x+1
∴a=1，b=0，g（x）=x²；
（2）函數f（x）=mx²-ln（x+1）的定義域為（-1，+∞）．f′(x)=2mx-

1

x+1

=

2mx2+2mx-1

x+1

，
令k（x）=2mx²+2mx-1，k(x)=2m(x+

1

2

)2-

m

2

-1，k(x)max=k(-

1

2

)=-

m

2

-1，
∵-2＜m＜0，∴k(x)max=-

m

2

-1＜0，k（x）=2mx²+2mx-1＜0在（-1，+∞）上恒成立，
即f′（x）＜0，當-2＜m＜0時，函數f（x）在定義域（-1，+∞）上單調遞減．
（3）當m=1時，f（x）=x²-ln（x+1）．，令h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），
則h′(x)=

3x3+(x-1)2

x+1

在[0，+∞）上恒正，
∴h（x）在[0，+∞）上單調遞增，當x∈（0，+∞）時，恒有h（x）＞h（0）=0．，
即當x∈（0，+∞）時，有x³-x²+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x²-x³，
對任意正整數n，取x=

1

n

得ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

．