Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且短軸長為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在直線l與橢圓交于A，B兩點，使得

OA

•

OB

=

2

3

且S_△AOB=

2

3

（O為坐標(biāo)原點）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知得

2b=2 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）若直線的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y=kx+m，由

y=kx+m x2+2y2=2

，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，由此利用韋達定理、向量數(shù)量積、橢圓弦長公式結(jié)合已知條件能求出直線l為y=±x±

2

；若直線的斜率不存在，則設(shè)直線l的方程為x=n，n∈（-

2

，

2

），由已知條件得這樣的直線不存在．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，且短軸長為2，
∴

2b=2 e= c a = 2 2 a2=b2+c2

，解得a=

2

，b=c=1，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．
（2）若直線的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y=kx+m，
由

y=kx+m x2+2y2=2

，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得

x1+x2= -4mk 1+2k2 x1x2= 2m2-2 1+2k2

，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

2

3

，
即

3m2-2k2-2

1+2k2

=

2

3

，即9m²=10k²+8，
S△AOB=

1

2

|m||x1-x2|=

1

2

m2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

1

2

8m2(1+2k2-m2) (1+2k2)2

=

2

3

，
即9m²（1+2k²-m²）=（1+2k²）²，
由

9m2(1+2k2-m2)=(1+2k2)2 9m2=10k2+8

，
解得k²=1，m²=2，
此時△=（4mk）²-4（1+2k²）（2m²-2）=8＞0
∴y=±x±

2

，
若直線的斜率不存在，則設(shè)直線l的方程為x=n，n∈（-

2

，

2

），
則A（n，-

2-n2 2

），B（n，

2-n2 2

），
不能同時滿足

OA

•

OB

=

2

3

和S△AOB=

2

3

，
∴這樣的直線不存在．
綜上所述，存在直線l與橢圓交于A，B點，使得

OA

•

OB

=

2

3

且S△AOB=

2

3

，
其方程為y=±x±

2

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．