【題目】已知函數(shù), .

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)在區(qū)間有唯一零點(diǎn),證明: .

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析.

【解析】試題分析:(Ⅰ)求導(dǎo)得, 分, , ,三種情況討論可得單調(diào)區(qū)間.

(Ⅱ)由(1)及可知:僅當(dāng)極大值等于零,即

所以,且,消去,構(gòu)造函數(shù),證明單調(diào)且零點(diǎn)存在且唯一即可.

試題解析:(Ⅰ) , ,

,

,即,則,

當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增,

,即,則,僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,

當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增.

,即,則有兩個(gè)零點(diǎn),

, ,

當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí), , 單調(diào)遞增.

綜上所述,

當(dāng)時(shí), 上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), 上單調(diào)遞增,

上單調(diào)遞減.

(Ⅱ)由(1)及可知:僅當(dāng)極大值等于零,即時(shí),符合要求.

此時(shí), 就是函數(shù)在區(qū)間的唯一零點(diǎn).

所以,從而有

又因?yàn)?/span>,所以,

,則,

設(shè),則

再由(1)知: , 單調(diào)遞減,

又因?yàn)?/span>, ,

所以,即

點(diǎn)晴:本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題:可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù),如果函數(shù)較為復(fù)雜,可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象.方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題,可參變分離,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理. 恒成立問題以及可轉(zhuǎn)化為恒成立問題的問題,往往可利用參變分離的方法,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值處理.也可構(gòu)造新函數(shù)然后利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解.注意利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.

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