【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣lnx﹣1,若曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線與直線2x+y﹣1=0垂直.
(1)求a的值;
(2)函數(shù)g(x)=f(x)﹣m(x﹣1)(m∈R)恰有兩個零點x1 , x2(x1<x2),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間及實數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)

,且 ,解得a=1.


(2)解:因為g(x)=(1﹣m)(x﹣1)﹣lnx,x∈(0,+∞)

(。┊1﹣m≤0即m≥1時,g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減

此時只存在一個零點,不合題意.

(ⅱ)當m<1時,令g'(x)=0,解得

當x變化時,g(x)與g'(x)的變化情況如下表:

x

(0,

g'(x)

0

+

g(x)

極小值

由題意可知,

下面判斷極小值的正負.

設h(m)=m+ln(1﹣m),m<1

①當m=0時,h(0)=0,即g(x)極小=0

此時g(x)恰有一個零點不合題意

②當m≠0且m<1時,

當m<0時,h'(m)>0; 當0<m<1時,h'(x)<0

所以h(m)在(﹣∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,1)單調(diào)遞減.

所以h(m)<h(0)=0,此時g(x)恰有兩個零點.

綜上,m的取值范圍是(﹣∞,0)∪(0,1).


【解析】(1)求出f(x)的導數(shù),根據(jù) ,求出a的值即可;(2)求出g(x)的導數(shù),通過討論m的范圍結合g(x)的單調(diào)性,求出g(x)的極小值,結合極小值的正負,求出m的范圍即可.
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關知識點,需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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t

男同學人數(shù)

7

11

15

12

2

1

女同學人數(shù)

8

9

17

13

3

2

若將日均課外閱讀時間不低于60分鐘的學生稱為“讀書迷”.

(1)將頻率視為概率,估計該校4000名學生中“讀書迷”有多少人?

(2)從已抽取的8名“讀書迷”中隨機抽取4位同學參加讀書日宣傳活動.

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