【題目】一塊邊長為的正三角形薄鐵片,按如圖所示設計方案,裁剪下三個全等的四邊形(每個四邊形中有且只有一組對角為直角),然后用余下的部分加工制作成一個“無蓋”的正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)形容器.

(Ⅰ)請將加工制作出來的這個“無蓋”的正三棱柱形容器的容積表示為關于的函數(shù),并標明其定義域;

(Ⅱ)若加工人員為了充分利用邊角料,考慮在加工過程中,使用裁剪下的三個四邊形材料恰好拼接成這個正三棱柱形容器的“頂蓋”.

(1)請指出此時的值(不用說明理由),并求出這個封閉的正三棱柱形容器的側面積;

(2)若還需要在該正三棱柱形容器中放入一個金屬球體,試求該金屬球體的最大體積

【答案】(1); (2).

【解析】

(Ⅰ)先求三棱柱的高,底面積,再求三棱柱的容積V和函數(shù)的定義域. (Ⅱ)(1) 此時,而相應棱柱的高,再求側面積.(2)先求得 正三棱柱的高為,底面正三角形的內切圓半徑為,再分析得到球體體積最大時,其直徑應與高相等,即得球體半徑和該金屬球體的最大體積

(Ⅰ)結合平面圖形數(shù)據(jù)及三棱柱直觀圖,易求得:

三棱柱的高,其底面積

則三棱柱容器的容積

即所求函數(shù)關系式為

(Ⅱ)(1)此時,而相應棱柱的高,

(注:側面積求法不唯一)

(2)結合底面邊長和棱柱的高的數(shù)據(jù)可得:

①該正三棱柱的高為;②底面正三角形的內切圓半徑為,

由此易知球體體積最大時,其直徑應與高相等,則球體半徑

故球體最大體積

練習冊系列答案
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=3.D是線段BC的中點.

(1)求直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)求二面角B1﹣A1D﹣C1的大小的余弦值.

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【題目】(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x2-2(a+1)x+2alnx(a>0).

(1)當a=1時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;

(2)求f(x)的單調區(qū)間;

(3)若f(x)0在區(qū)間[1,e]上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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【題目】某學校高三年級有學生1 000名,經(jīng)調查,其中750名同學經(jīng)常參加體育鍛煉(稱為A類同學),另外250名同學不經(jīng)常參加體育鍛煉(稱為B類同學),現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類、B類分兩層)從該年級的學生中共抽查100名同學,如果以身高達165 cm作為達標的標準,對抽取的100名學生,得到以下列聯(lián)表:

身高達標

身高不達標

總計

經(jīng)常參加體育鍛煉

40

不經(jīng)常參加體育鍛煉

15

總計

100

(1)完成上表;

(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為經(jīng)常參加體育鍛煉與身高達標有關系(K2的觀測值精確到0.001)?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設z1 , z2是復數(shù),則下列命題中的假命題是(
A.若|z1﹣z2|=0,則 =
B.若z1= ,則 =z2
C.若|z1|=|z2|,則z1? =z2?
D.若|z1|=|z2|,則z12=z22

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】下列四種說法中,
①命題“存在x∈R,x2﹣x>0”的否定是“對于任意x∈R,x2﹣x<0”;
②命題“p且q為真”是“p或q為真”的必要不充分條件;
③已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(2, ),則f(4)的值等于 ;
④已知向量 =(3,﹣4), =(2,1),則向量 在向量 方向上的投影是
說法錯誤的個數(shù)是(
A.1
B.2
C.3
D.4

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【題目】已知函數(shù)f(x)= (﹣3x2+3f′(2))dx,則f′(2)=

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【題目】已知數(shù)據(jù)a1,a2,…,an的平均數(shù)為a,方差為s2,則數(shù)據(jù)2a1,2a2,…,2an的平均數(shù)和方差分別為(  )

A. a,s2 B. 2a,s2

C. 2a,2s2 D. 2a,4s2

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【題目】在直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程 (φ為參數(shù)).以O為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求圓C的極坐標方程;
(2)直線l的極坐標方程是ρ(sinθ+ )=3 ,射線OM:θ= 與圓C的交點為O,P,與直線l的交點為Q,求線段PQ的長.

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