Question

20．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），A，B在曲線C上，且A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A（ρ₁，$\frac{π}{6}$），B（ρ₂，$\frac{2π}{3}$）．
（I）把曲線C的參數(shù)方程化為普通方程和極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求線段AB的長度．

Answer 1

分析 （I）把曲線C的參數(shù)方程化為普通方程和極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求線段AB的長度．

解答 解：（I）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∵x=ρcosθ，x=ρsinθ，代入普通方程得$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{cos^2θ}{12}$+$\frac{sin^2θ}{4}$，
（Ⅱ）把極坐標(biāo)A（ρ₁，$\frac{π}{6}$），B（ρ₂，$\frac{2π}{3}$）代入C的極坐標(biāo)方程$\frac{1}{{ρ}^{2}}$=$\frac{cos^2θ}{12}$+$\frac{sin^2θ}{4}$，得
${{ρ}_{1}}^{2}$=$\frac{1}{\frac{cos^2\frac{π}{6}}{12}+\frac{sin^2\frac{π}{6}}{4}}$=8，${{ρ}_{2}}^{2}$=$\frac{1}{\frac{cos^2\frac{2π}{3}}{12}+\frac{sin^2\frac{2π}{3}}{4}}$=$\frac{24}{5}$，
則線段AB的長度|AB|=$\sqrt{{{ρ}_{1}}^{2}+{{ρ}_{2}}^{2}-2{ρ}_{1}{ρ}_{2}cos（\frac{2π}{3}-\frac{π}{6}）}$=$\sqrt{8+\frac{24}{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程和普通方程之間的關(guān)系，根據(jù)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)化法則是解決本題的關(guān)鍵．