12.如圖,ABCD是邊長為1的正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,PO=1,E是PC的中點(diǎn). 求證:
(1)PA∥平面BDE;
(2)平面PAC⊥平面BDE.
(3)求直線PA與平面ABCD所成角的余弦值.

分析 (1)連接OE,OE∥PA,由直線與平面平行的判定定理,可證得PA∥平面BDE;
(2)由PO⊥底面ABCD,可得PO⊥BD;底面為正方形,可得BD⊥AC,由直線和平面垂直的判定定理,可得BD⊥平面PAC,由面面垂直的判定定理,可證得平面PAC⊥平面BDE.
(3)根據(jù)直線和平面所成角的定義,找出線面角,根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可.

解答 證明:(1)如圖,連接OE
∵O為AC中點(diǎn),E為PC中點(diǎn).
∴OE為△PAC的中位線
∴OE∥PA
∵OE?平面BDE,PA?平面BDE
∴PA∥平面BDE.
(2)∵底面ABCD為正方形
∴BD⊥AC
∵PO⊥平面ABCD,BD?平面ABCD
∴PO⊥BD
∵PO?平面PAC,AC?平面PAC,AC∩PO=O
∴BD⊥平面PAC
∵BD?平面BDE
∴平面BDE⊥平面PAC
即平面PAC⊥平面BDE.
(3)∵PO⊥底面ABCD,
∴AO是PA在底面ABCD的射影,
則∠PAO是直線PA與平面ABCD所成角,
∵PA與平面ABCD所成角,
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵PO=1,
∴PA=$\sqrt{P{O}^{2}+A{O}^{2}}=\sqrt{1+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{4}}=\sqrt{\frac{6}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,
sin∠PAO=$\frac{PO}{PA}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面平行的判定定理、直線和平面垂直的性質(zhì)、直線和平面垂直的判定定理、平面與平面垂直的判定定理以及線面角的求解,要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

10.已知函數(shù)f(x)=x2-(2sinα)x-8sin2α(α∈R),則
下列四個(gè)結(jié)論:
①y=f(x)的最小值為-9.
②對任意兩實(shí)數(shù)x1、x2,都有f($\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$)≤$\frac{f({x}_{1})+f({x}_{2})}{2}$.
③不等式f(x)<0的解集是(-2sinα,4sinα).
④設(shè)[m]表示不超過實(shí)數(shù)m的最大整數(shù),如[2.1]=2,[-2.1]=-3,[0]=0,記{m}=m-[m].則當(dāng)2kπ<α<2kπ+π且α≠2kπ+$\frac{π}{2}$時(shí),f([sinα])≥f({sinα}),當(dāng)2kπ+π≤α≤2kπ+2π或α=2kπ+$\frac{π}{2}$(k∈z)時(shí),f([sinα])<f({sinα}).其中正確的是①②.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.在如圖所示的多面體ABCDE中,AB∥DE,AB⊥AD,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB=2,$BC=\sqrt{5}$,F(xiàn)是CD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證AF∥平面BCE;
(Ⅱ)求多面體ABCDE的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.已知平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2\sqrt{3}cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$(α為參數(shù)),A,B在曲線C上,且A,B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A(ρ1,$\frac{π}{6}$),B(ρ2,$\frac{2π}{3}$).
(I)把曲線C的參數(shù)方程化為普通方程和極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)求線段AB的長度.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.如圖,四面體ABCD中,AD⊥平面BCD,E、F分別為AD、AC的中點(diǎn),BC⊥CD.
求證:(1)EF∥平面BCD
(2)平面BDC⊥平面ACD.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.集合A={x∈N|0≤x<3}的真子集個(gè)數(shù)為( 。
A.3B.4C.7D.8

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.函數(shù)f(x)=lg(x2+1)的大致圖象是( 。
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.如圖,BC是圓O的直徑,點(diǎn)F在弧BC上,點(diǎn)A為劣弧$\widehat{BF}$的中點(diǎn),作AD⊥BC于點(diǎn)D,BF與AD交于點(diǎn)E,與AC交于點(diǎn)G.
(1)求證:AE=BE;
(2)若圓O的半徑為5,AB=6,求AG.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

2.從6雙不同的手套中任取4只,其中恰好有兩只是一雙的取法有( 。
A.120種B.240種C.255種D.300種

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案