分析 (1)連接OE,OE∥PA,由直線與平面平行的判定定理,可證得PA∥平面BDE;
(2)由PO⊥底面ABCD,可得PO⊥BD;底面為正方形,可得BD⊥AC,由直線和平面垂直的判定定理,可得BD⊥平面PAC,由面面垂直的判定定理,可證得平面PAC⊥平面BDE.
(3)根據(jù)直線和平面所成角的定義,找出線面角,根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可.
解答 證明:(1)如圖,連接OE
∵O為AC中點(diǎn),E為PC中點(diǎn).
∴OE為△PAC的中位線
∴OE∥PA
∵OE?平面BDE,PA?平面BDE
∴PA∥平面BDE.
(2)∵底面ABCD為正方形
∴BD⊥AC
∵PO⊥平面ABCD,BD?平面ABCD
∴PO⊥BD
∵PO?平面PAC,AC?平面PAC,AC∩PO=O
∴BD⊥平面PAC
∵BD?平面BDE
∴平面BDE⊥平面PAC
即平面PAC⊥平面BDE.
(3)∵PO⊥底面ABCD,
∴AO是PA在底面ABCD的射影,
則∠PAO是直線PA與平面ABCD所成角,
∵PA與平面ABCD所成角,
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∵PO=1,
∴PA=$\sqrt{P{O}^{2}+A{O}^{2}}=\sqrt{1+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{4}}=\sqrt{\frac{6}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,
sin∠PAO=$\frac{PO}{PA}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面平行的判定定理、直線和平面垂直的性質(zhì)、直線和平面垂直的判定定理、平面與平面垂直的判定定理以及線面角的求解,要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理.
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