Question

如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓O上，矩形ABCD所在平面和圓O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）求證：AF⊥平面CBF；
（2）點(diǎn)G在線段CE上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)二面角O-AF-G的平面角的正弦值為

2 3

61

時(shí)，
①問點(diǎn)G的位置；
②求直線AG與平面CBE所成的角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間角

分析：（1）欲證AF⊥平面CBF，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AF與平面CBF內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知CB⊥平面ABEF，而AF?平面ABEF，則AF⊥CB，而AF⊥BF，滿足定理所需條件．
（2）①過點(diǎn)F作FH⊥AB交AB于H，以H為原點(diǎn)，OH為x軸，HF為y軸，過H平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出CG=

1

4

CE．
②由①知G（-

11

8

，

3

8

，

3

4

），

AG

=（-

15

8

，

3

8

，

3

4

），求出平面CBE的法向量，利用向量法能求出直線AG與平面CBE所成的角的正弦值．

解答： （1）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴CB⊥平面ABEF∵AF?平面ABEF，
∴AF⊥CB，
又AB為圓O的直徑，∴AF⊥BF，
∴AF⊥平面CBF．
（2）①過點(diǎn)F作FH⊥AB交AB于H，
DA⊥圓面O，F(xiàn)H?圓面O，DA⊥FH，
∴FH⊥平面ABCD，
∴∠FBA是BF與平面ABCD所成角的平面角，
∵AB=2，AD=EF=1，∴HF=

3

2

，BH=

3

2

，
∴∠FBA=30°，∴AF=1，∴BE=1，
由題意，以H為原點(diǎn)，OH為x軸，HF為y軸，過H平行于AD的直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（

1

2

，0，0），F(xiàn)（0，

3

2

，0），O（-

1

2

，0，0），C（-

3

2

，0，1），E（-1，

3

2

，0），
設(shè)G（a，b，c），

CG

=λ

CE

，則（a+

3

2

，b，c-1）=（

1

2

λ，

3

2

λ，-λ），
∴G（

1

2

λ-

3

2

，

3

2

λ，1-λ），
∴

AF

=(-

1

2

，

3

2

，0)，

AG

=（

1

2

λ-2，

3

2

λ，1-λ），
設(shè)平面AFG的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • AF =- 1 2 x+ 3 2 y=0 m • AG =( 1 2 λ-2)x+ 3 2 λy+(1-λ)z=0

，
取x=

3

，得

m

=（

3

，1，

3 λ-2 3

λ-1

），
∵平面OAF的法向量為

n

=（0，0，1），
二面角O-AF-G的平面角的正弦值為

2 3

61

，
∴cos＜

m

，

n

＞=

3 λ-2 3 λ-1

4+( 3 λ-2 3 λ-1 )2

=

1-( 2 3 61 )2

，
解得λ=

1

4

，∴CG=

1

4

CE．
②由①知G（-

11

8

，

3

8

，

3

4

），
∴

AG

=（-

15

8

，

3

8

，

3

4

），
∵B（-

3

2

，0，0），C（-

3

2

，0，1），E（-1，

3

2

，0），
∴

BC

=（0，0，1），

BE

=(

1

2

，

3

2

，0)，
設(shè)平面CBE的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • BC =z=0 n • BE = 1 2 x+ 3 2 y=0

，
取x=

3

，得

n

=(

3

，-1，0)，
設(shè)直線AG與平面CBE所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

AG

，

n

＞|=|

- 15 8 3 - 3 8

2• 225 64 + 3 64 + 9 16

|=

2 22

11

．
∴直線AG與平面CBE所成的角的正弦值為

2 22

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)的位置的確定，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．