Question

16．已知向量$\overrightarrow a$=（cosα，sinα），$\overrightarrow b$=（cosβ，sinβ），$\overrightarrow c$=（-1，0）
（1）求向量$\overrightarrow b+\overrightarrow c$的長(zhǎng)度的最大值；
（2）設(shè)α=$\frac{π}{4}$，β∈（0，π），且$\overrightarrow a$⊥（$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$），求β的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算模長(zhǎng)公式及向量的坐標(biāo)表示，再由余弦函數(shù)的值域即可求得最大值；
（2）運(yùn)用向量垂直的條件，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及同角的平方關(guān)系，即可求得cosβ的值，根據(jù)β∈（0，π），即可求得β的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow b+\overrightarrow c$=（cosβ-1，sinβ），
∴丨$\overrightarrow b+\overrightarrow c$丨=$\sqrt{（cosβ-1）^{2}+si{n}^{2}β}$=$\sqrt{co{s}^{2}β-2cosβ+1+si{n}^{2}β}$=$\sqrt{2-2cosβ}$，
∴當(dāng)cosβ=-1，丨$\overrightarrow b+\overrightarrow c$丨取最大值，最大值為2，
向量$\overrightarrow b+\overrightarrow c$的長(zhǎng)度的最大值2；
（2）α=$\frac{π}{4}$，$\overrightarrow a$⊥（$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$），
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=0，
cosαcosβ-sinαsinβ-cosα=0，
$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosβ+sinβ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
sinβ+cosβ=1，
∵sin²β+cos²β=1，
解得：cosβ=0或1，
∵β∈（0，π），
β=$\frac{π}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，主要考查向量的垂直的條件和模長(zhǎng)的求法，同時(shí)考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬于中檔題．