Question

7．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x-3）=f（-x-3），且該函數(shù)的圖象與y軸交于點（0，-1），在x軸上截得的線段長為2$\sqrt{6}$．
（1）確定該二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-6，k]時，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)f（x）=ax²+b+c（a≠0），利用題中的條件求出a、b、c的值，即可得到函數(shù)的解析式．
（2）由于二次函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$x²-2x-1的對稱軸為x=-3，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分-6＜k≤0和k＞0兩種情況，可得f（x）的最大值．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+b+c（a≠0），
∵f（x）過點（0，-1），
∴c=-1①．…（1分）
又f（x-3）=f（-x-3），
∴f（x）對稱軸x=-$\frac{2a}$=-3②．
又|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{^{2}-4ac}}{\left|a\right|}$=2$\sqrt{6}$③，
由①②③式得a=-$\frac{1}{3}$，b=-2，c=-1，
∴f（x）=-$\frac{1}{3}$x²-2x-1．
（2）由于二次函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$x²-2x-1的對稱軸為x=-3，
∴f（-6）=f（0），
若-6＜k≤0，則當(dāng)x=-6時，f（x）取最大值-1，
若k＞0，則當(dāng)x=k時，f（x）取最大值-$\frac{1}{3}$k²-2k-1．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．