Question

15．數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{1}{5}，{a_n}+{a_{n+1}}=\frac{6}{{{5^{n+1}}}}（n∈{N^*}）$，則$\lim_{n→∞}（{a_1}+{a_2}+…+{a_n}）$=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 可以判斷出數(shù)列{a_n+a_n+1}是以$\frac{6}{{5}^{2}}$為首先，$\frac{1}{5}$為公比的等比數(shù)列，從而可以由等比數(shù)列的前n項和公式求該數(shù)列的前n項和，從而可以得到$\underset{lim}{n→∞}[（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）{{+（a}_{1}+a}_{2}+…+{a}_{n+1}）-{a}_{1}]$=$\underset{lim}{n→∞}\frac{\frac{6}{{5}^{2}}（1-\frac{1}{{5}^{n}}）}{1-\frac{1}{5}}$，而$\underset{lim}{n→∞}（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）$=$\underset{lim}{n→∞}（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n+1}）$，這樣便可求出$\underset{lim}{n→∞}（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）$．

解答 解：根據條件，${a}_{1}+{a}_{2}=\frac{6}{{5}^{2}}$；
∴${a}_{n}+{a}_{n+1}=\frac{6}{{5}^{2}}•（\frac{1}{5}）^{n-1}$；
∴數(shù)列{a_n+a_n+1}是以$\frac{6}{{5}^{2}}$為首先，$\frac{1}{5}$為公比的等比數(shù)列；
∴$\underset{lim}{n→∞}[（{a}_{1}+{a}_{2}）+（{a}_{2}+{a}_{3}）+…+（{a}_{n}+{a}_{n+1}）]$=$\underset{lim}{n→∞}[{a}_{1}+2（{a}_{2}+{a}_{3}+…+{a}_{n}）+{a}_{n+1}]$
=$\underset{lim}{n→∞}[（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）+（{{a}_{1}+{a}_{2}+…+a}_{n+1}）-{a}_{1}]$
=$2\underset{lim}{n→∞}（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）-\frac{1}{5}$
=$\underset{lim}{n→∞}\frac{\frac{6}{{5}^{2}}（1-\frac{1}{{5}^{n}}）}{1-\frac{1}{5}}=\frac{3}{10}$；
∴$\underset{lim}{n→∞}（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）=\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 考查等比數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的前n項和公式，以及數(shù)列極限的概念及其計算，清楚$\underset{lim}{n→∞}（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n}）=\underset{lim}{n→∞}（{a}_{1}+{a}_{2}+…+{a}_{n+1}）$是本題求解的關鍵．