Question

設(shè)橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心、橢圓

的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，以線段為直徑作圓．若圓與軸相交于不同的兩點(diǎn)，求的面積；

（3）如圖，、、、是橢圓的頂點(diǎn)，是橢圓上除頂點(diǎn)外的任意點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)．設(shè)的斜率為，的斜率為，求證：為定值．

Answer 1

（1）圓的方程為， 直線與圓O相切，

，即，又， ，

， 橢圓的方程為；                         

（2）由題意，可得，                 

圓的半徑，，         

         的面積為；                

（3）由題意可知，

的斜率為，直線的方程為，

由，得，

其中，，，      

則直線的方程為，

令，則， 即，     

直線的方程為，

由，解得，，  

的斜率 ，

（定值）．