Question

15．某學(xué)生為了測(cè)試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問(wèn)題設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，并獲得了煤氣開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與燒開(kāi)一壺水所用時(shí)間y的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），得到了散點(diǎn)圖（如圖）．

$\bar x$	$\bar y$	$\bar w$	$\sum_{i=1}^{10}{（{x_i}-\bar x）^2}$	$\sum_{i=1}^{10}{（{w_i}-\bar w）^2}$	$\sum_{i=1}^{10}（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）$	$\sum_{i=1}^{10}（{w_i}-\bar w）（{y_i}-\bar y）$
1.47	20.6	0.78	2.35	0.81	-19.3	16.2

表中${w_i}=\frac{1}{x_i^2}，\overline{w}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}{w_i}$．
（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y=a+bx與$y=c+\fracsk4vmsn{x^2}$哪一個(gè)更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類(lèi)型？（不必說(shuō)明理由）
（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與單位時(shí)間內(nèi)煤氣輸出量t成正比，那么x為多少時(shí)，燒開(kāi)一壺水最省煤氣？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（u₁，v₁），（u₂，v₂），（u₃，v₃），…，（u_n，v_n），其回歸直線(xiàn)v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{v_i}-\bar v）（{u_i}-\bar u）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\bar u）}^2}}}}，\hat α=\bar v-\hat β\bar u$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)散點(diǎn)圖是否按直線(xiàn)型分布作答；
（2）根據(jù)回歸系數(shù)公式得出y關(guān)于ω的線(xiàn)性回歸方程，再得出y關(guān)于x的回歸方程；
（3）利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件．

解答 解：（1）$y=c+\fracmm6jijx{x^2}$更適宜作燒水時(shí)間y關(guān)于開(kāi)關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類(lèi)型．…（1分）
（2）由公式可得：$\hat d=\frac{{\sum_{i=1}^{10}{（{w_i}-\bar w）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sum_{i=1}^{10}{{{（{w_i}-\bar w）}^2}}}}=\frac{16.2}{0.81}=20$，…（3分）
$\hat c=\bar y-\hat d\overline{w}=20.6-20×0.78=5$，…（5分）
所以所求回歸方程為$y=5+\frac{20}{x^2}$．…（6分）
（3）設(shè)t=kx，則煤氣用量$S=yt=kx（5+\frac{20}{x^2}）=5kx+\frac{20k}{x}≥2\sqrt{5kx•\frac{20k}{x}}=20k$，…（9分）
當(dāng)且僅當(dāng)$5kx=\frac{20k}{x}$時(shí)取“=”，即x=2時(shí)，煤氣用量最�。�…（11分）
答：x為2時(shí)，燒開(kāi)一壺水最省煤氣．                            …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了可化為線(xiàn)性相關(guān)的回歸方程的求解，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．