Question

函數(shù)f（x）=

4

x2+ax+4

．
（1）若f（x）定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=2，求f（x）的取值范圍；
（3）若f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）f（x）定義域?yàn)镽，則x²+ax+4＞0恒成立，即有△=a²-16＜0，解得即可；
（2）將二次三項(xiàng)式配方，由二次函數(shù)的最值，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得到取值范圍；
（3）由于f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），則設(shè)t=x²+ax+4，t取到一切正數(shù)，即有判別式不小于0，解出不等式即可．

解答： 解：（1）f（x）定義域?yàn)镽，則x²+ax+4＞0恒成立，
即有△=a²-16＜0，解得，-4＜a＜4
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-4，4）；
（2）f（x）=

4

x2+2x+4

，即有f（x）=

4

(x+1)2+3

，
由于（x+1）²+3≥3，則

(x+1)2+3

≥

3

，即有0＜f（x）≤

4 3

3

．
故f（x）的取值范圍是（0，

4 3

3

]；
（3）由于f（x）的值域?yàn)椋?，+∞），
則設(shè)t=x²+ax+4，t取到一切正數(shù)，即有判別式不小于0，
則a²-16≥0，解得，a≥4或a≤-4．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-4]∪[4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的定義域和值域的求法和運(yùn)用，考查二次不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．